Pour des exemples de dcomposition de la fraction P(x)/Q(x), voir \link{ex-gen}{Exemple}
<ul>
<li> On calcule la partie entire en faisant la 
\link{divisioneucl}{division euclidienne} de P par Q 
</li>
<li> On calcule la partie polaire de la dcomposition
 en lments simples correspondant  un ple  u  de multiplicit m. 
 La fraction rationnelle s'crit 
 \(\frac{P(x)}{(x-u)^mQ_1(x)} ) avec  Q<sub>1</sub>(u) non nul. 
 On fait un dveloppement limit de 
 P/Q<sub>1</sub> en x= u  l'ordre m : 
 <p> <center> \(\frac{P(x)}{Q_1(x)} = A_0+A_1(x-u)+ ... 
 + A_{m-1} (x-u)^{m-1} +(x-u)^m H)
 </center></p>
 (en fait H est une fraction rationnelle de la forme
  P<sub>1</sub>/Q<sub>1</sub> et donc n'ayant pas de ple en x=u). 
 On a donc 
 <p> <center>
 \(\frac{P(x)}{(x-u)^mQ_1(x)}= \frac{A_0}{(x-u)^m}
 +\frac{A_1}{(x-u)^{m-1}}
 + ... + \frac{A_{m-1}}{x-u} + \frac{P_1}{Q_1})
 </center></p>
 et la partie polaire de la dcomposition en lments simples  est exactement 
<p> <center>
 \(\frac{A_0}{(x-u)^m}+\frac{A_1}{(x-u)^{m-1}}
 + ... +\frac{ A_{m-1} }{x-u}
 )
 </center></p>
 </li>
 <li>On fait de mme pour tous les ples.
 </li>
<li>Dans le cas o les ples sont complexes, on peut se ramener  
la dcomposition sur \RR en regroupant les dcompositions 
correspondant  un ple et  son conjugu. 
</li>
</ul>
La dcomposition en lments simples de P(x)/Q(x) est obtenue en ajoutant les bouts obtenus. 
\link{ex-gen}{Exemple}
 