<div class="exercice"> On dsire montrer que
l'quation \(x^2 + y^3 = 7) n'a pas de solutions entires.

<ol><li> Soit  \(p) un
nombre premier impair. Montrer que si l'quation
 \(x^2 + 1) \equiv 0 mod \(p) a une solution, alors 
 \(p) est congru   1 mod 4. 

\fold{diophsol1}{<span class="solution"> Solution </span>}
</li>
<li>
Supposons qu'il existe des entiers  \(x) et  \(y)  tels
que \(x^2 + y^3 = 7). 
<ul><li>
 Montrer que  \(y) est impair.  
 <p>
\fold{diophsol2}{<span class="solution"> Solution </span>}</p>
</li><li>
 Montrer que le produit d'entiers congrus   1 mod 4 est
congru   1 mod 4. 

\fold{diophsol3}{<span class="solution"> Solution </span>}
</li><li>
Factoriser  \(8 - y^3) sous la forme  \((2 - y)B). Montrer qu'il existe
un nombre premier  \(p) congru  3 mod 4 divisant  \(B). En dduire qu'il
existe un nombre premier  congru  3 mod 4 et divisant \(x^2 + 1). 

\fold{diophsol4}{<span class="solution"> Solution </span>}
</li></ul>
</li>
<li>Conclure.

\fold{diophsol5}{<span class="solution"> Solution </span>}</li>
 </ol>
</div>