On peut aussi utiliser la formule du\fold{theoreme1}{thorme} de la droite vers la gauche. Pour calculer  \(\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\;dx) o  \(f) est une fonction continue sur  \([\alpha,\beta]), on a envie de poser  \(x=\varphi(t)). 

\comment{On dfinit alors la variable  \(x) en fonction de  \(u) en posant  \(x=\psi(u)) dans une intgrale o ni l'expression  \(\psi(u)), ni sa drive n'apparaissent clairement : la fonction  \(\psi) doit  tre bijective sur  \([\alpha,\beta]) et  admettre la fonction rciproque  \(\varphi) de manire  ce que
\(\varphi(t)=\varphi(\psi(u))=u). 
}
Contrairement  ce qu'il est souvent crit, on n'a pas besoin de dfinir la fonction rciproque de \varphi. Par contre, il est essentiel de trouver un intervalle [a,b] tel que
<ul><li> la fonction \(\varphi) est dfinie, de classe \(C^1) sur [a,b] et vrifie \(\varphi(a)=\alpha) et \(\varphi(b)=\beta)
</li>
<li>la fonction  \(f) est continue sur \(\varphi([a,b])) (attention, \(\varphi([a,b])) peut tre plus grand que \([\alpha,\beta])).  
</li></ul>
 <p>On peut alors appliquer le \fold{theoreme1}{thorme} pour faire le changement de variable \(x=\varphi(t)) :
 
<center>\( \int_{\alpha}^{\beta} f(x)\; dx=
\int_a^b (f \circ \varphi)(t)
\;\varphi'(t)\;dt ). </center>

<div class="aide">
Concrtement, une fois choisie  la fonction \(\varphi) :  
<ul><li> on choisit \(a) et \(b) vrifiant \(\varphi(a)=\alpha) et \(\varphi(b)=\beta)
et on dtermine l'intervalle \(\varphi( [a,b])) ;  </li>
<li> on vrifie que\(\varphi) est \(C^1) sur l'intervalle [a,b] ; 
</li>
<li>on vrifie que \(f) est une fonction continue sur  \(\varphi( [a,b])) ; c'est immdiat dans le cas \(\varphi( [a,b])=[\alpha,\beta])  ;</li>
 <li> on remplace 
 <center><table border=0 > <tr> <td align=center>
  \(x)</td><td align=center>par </td><td align=center> \(\varphi(t)) </td>
  </tr>
  <tr><td align=center>
 \(dx) </td><td align=center>par </td>
 <td align=center> \(\varphi'(t)\;dt)</td></tr>
 <tr><td align=center>
les bornes \(\alpha) et  \(\beta)  </td><td align=center>par </td><td align=center>
 \(a) et  \(b) </td></tr>
 </table>
 </center>
</li></ul>

<p>
On obtient ainsi une nouvelle intgrale gale  l'intgrale \(\int_\alpha^\beta f(x) dx).
</div>

<p>
Remarque : <ul><li>En gnral, on choisit \(a) et \(b) de manire  ce que la fonction \(\varphi) soit bijective de [a,b] sur [\alpha,\beta], et  en particulier tel que \(\varphi([a,b])) soit gal  \([\alpha,\beta]) :  par exemple dans le cas o le changement de variables est  \(x=cos(u) avec les bornes \(alpha=0) et \(\beta= 1), personne n'aurait l'ide saugrenue de prendre \(a=-59*pi/2) et \(b=80*pi) si la fonction \(f) est dfinie sur \RR. Mais c'est permis !
</li><li> En aucun cas, il n'est ncessaire que la rciproque de \(\varphi) soit \(C^1).
</li>
</ul> 
<p>
\link{exemple2}
 \link{exemple}