Il arrive que l'on fasse une mauvaise hypothse de rcurrence ou que
la proprit soit
fausse pour le  \(n_0) choisi. Par exemple, trouver la faute dans la
dmonstration suivante de
l'assertion
<center>
<font color =green> Tous les crayons de couleur d'une mme bote ont la
mme couleur </font>.</center> 

"Dmonstration": 

S'il n'y a qu'un crayon de couleur dans la
bote, c'est vrai. 


Prenons comme hypothse de rcurrence :

<center>s'il y a  \(k) crayons de couleur dans une bote, ils ont
la mme couleur. </center>

Prenons  \(k+1) crayons de couleur. On en enlve un, le crayon \(A). 
 Par hypothse de rcurrence, les  \(k) crayons de couleur
   qui restent ont la
mme couleur.

On remet \(A)  et on en en enlve  un autre,  \(B). Par hypothse de rcurrence, les  k
crayons de couleur qui restent ont la mme couleur
   que \(A) et aussi la mme couleur
que \(B). 

Donc ils ont tous la mme couleur.