<div class="dem">Faisons la dmonstration pour le dveloppement par rapport  la premire colonne. 
On crit 
\( A_1=  \sum_{i} a_{i1} E_i ) avec \( E_i ) le vecteur colonne form de \( 0 ) sauf  la \( i )-ime ligne
o il y a \( 1 ). On a grce  <font color="brown">\((D1))</font><center>
\({\rm det }(A)= \sum_{i} a_{i1} {\rm det }(E_i,A_2,...,A_n))</center>

Regardons le terme 
<center>  \({\rm det }(E_i,A_2,...,A_n)).</center>

\def{integer n=randint(4..6)}
\def{integer j=1}
\def{integer i=randint(1..\n)}
\def{text special=wims(nospace \ special)}
\def{text A= toto}
\for{k=1 to \n}
{
\def{text B=wims(makelist a_{\k l} for l=1 to \n)}
\def{text B=\i<>\k ? 
wims(replace internal item number \j by \special{color=red}0\special{color=black}  in \B):
wims(replace internal item number \j by \special{color=red}1\special{color=black}  in \B)}
\def{matrix A=\A
\B}
}
\def{matrix A= \A[2..-1;]}
\def{text A= slib(text/matrixtex [\A],lvert,rvert)}
<div class="aide">Par exemple, <a name="matrice"> ici \(i = \i)
\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">}{matrice}
<center>\(\A)</center>
</div>
En faisant des manipulations sur les colonnes du type 
<i>remplacer \(A_k) par \(A_k - a_(ik) E_i)</i>, on obtient que <center>
\( {\rm det }(E_i,A_2,..., A_n)= {\rm det }(E_i,\tilde{A}_2,... , \tilde{A}_n) ) </center>
o \( \tilde{A}_k ) est la colonne \( A_k ) o on remplace le \( i )-ime lment par \( 0 ).
<div class="aide">Exemple : 
<a name="matrice2">
\def{text special=wims(nospace \ special)}
\def{text A= toto}
\for{k=1 to \n}
{
\def{text B=\k<>\i ? wims(makelist a_{\k l} for l=1 to \n):
1,wims(makelist 0 for l=2 to \n)
}
\def{text B=\i<>\k ? 
wims(replace internal item number \j by \special{color=red}0\special{color=black}  in \B):
wims(replace internal item number \j by \special{color=red}1\special{color=black}  in \B)}
\def{matrix A=\A
\B}
}
\def{matrix A= \A[2..-1;]}
\def{text A= slib(text/matrixtex [\A],lvert,rvert)}
<center>\(\A)</center>
</div>
On remarque alors que l'application qui  une matrice \( B ) d'ordre \( n-1 ) associe 
\( {\rm det }(E_i,\hat{B}_1, ...,  \hat{B}_{n-1} ))
avec \( \hat{B}  ) la matrice colonne obtenue  partir de \( B )  en  rajoutant un \( 0 ) 
 la place \( i ), vrifie les deux premires proprits du dterminant
et vaut \( (-1)^{i+1} ) sur l'identit \( I_(n-1) ). Donc 
<center>\( {\rm det }(E_i,A_2,..., A_n)=(- 1)^{1+i}a_{i1}{\rm det } A_{i1} ). </center>
</div>