<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Formes quadratiques} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS2}{II  Orthogonalit} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> II-2  Signature d'une forme quadratique</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Formes quadratiques et formes polaires associes}

<div class="left_selection">\link{mainS2}{II  Orthogonalit}</div>

\link{mainS3}{III  Dcomposition en carrs d'une forme quadratique}

\link{mainS4}{IV  Formes quadratiques sur un espace euclidien}

\link{mainS5}{V  Application: Coniques du plan affine euclidien}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">
<h2 class="thm">Thorme</h2><div class="thm">
Soit \( q:E\rightarrow\mathbb R \) une forme quadratique. Il existe \( (v_1,\cdots , v_n) \) 
une base de \( E \) orthogonale par rapport  \( q \) et des entiers \( r \) et \( s \)  
vrifiant \( 0\leq r\leq r + s\leq n \) tels que
<div class="math">\( q\left(\sum^n_{i=1}x_iv_i\right)=x^2_1+x^2_2+\cdots +x^2_r- x^2_{r+1}\cdots - x^2_{r+s}\)</div>
  <b><font color="red">Les entiers \( r \) et \( s \) ne dpendent que de \( q \)</font></b>  .

 Le couple \( (r, s) \) s'appelle <b><font color="red">signature</font></b>  <a name="signature">
 de \( q \) et le rang de \( q \) vaut \( r + s \).

</div>




\fold{mainS2S2F_proof1}{<span class="dem">Dmonstration</span>

}






\fold{mainS2S2F_exF1}{<span class="exemple">Exemple</span>

}





<h2 class="exercice">Exercice</h2><div class="exercice">
\exercise{module=U2/algebra/oefbilin.fr&cmd=new&exo=signrang2&worksheet=}{Signature et rang}  
</div>



La proposition suivante donne une condition ncessaire et suffisante pour qu'une forme quadratique soit non dgnre.
<h2 class="thm">Proposition</h2><div class="thm">
 Soit \( q \) une forme quadratique de \( E \) de signature \( (r, s) \). Considrons
 une base \( {\cal B} \) de \( E \).
 Alors, \( q \) est non dgnre si et seulement si \( r + s = n. \)   
 
 
 

</div>




\fold{mainS2S2F_proof2}{<span class="dem">Dmonstration</span>

}


<h2 class="thm">Proposition</h2><div class="thm">
Soient \( q:E\rightarrow\mathbb R \) une forme quadratique de signature \( (r, s) \).
<ol><li>  \( q \) est positive \( \Longleftrightarrow s = 0 \) 
 </li><li>   \( q \) est dfinie positive \( \Longleftrightarrow r = n \)
 </li></ol>
</div></div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
\link{mainS2S1}{II-1  Bases orthogonales relativement  une forme quadratique}

<div class="right_selection">\link{mainS2S2}{II-2  Signature d'une forme quadratique}</div>
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>