<div class="dem">   
Soit \( {\cal R}_{0} \) le repre \( (\omega,i  ,j  ) \), un point \( M \) de coordonnes \( X \) dans \( {\cal R} \) a pour coordonnes \( Y=X-X_0 \) dans \( {\cal R}_{0} \). On dtermine une quation de \( {\cal C} \) dans \( {\cal R}_{0} \) ainsi:

 

\( \begin{matrix} 
M\in {\cal C}
&\Longleftrightarrow& ^{t}\!XAX+BX+f=0\\  
&\Longleftrightarrow& ^{t}\!(X_0+Y)A(X_0+Y)+B(X_0+Y)+f=0\\
&\Longleftrightarrow& ^{t}\!YAY+(2^tX_0A+B)Y+^{t}\!X_0AX_0+BX_0+f=0\\
\end{matrix}  \)

Donc une quation de \( {\cal C} \) dans \( {\cal R}_{0} \) est 
<div class="math"><a name="Eq2">\(  
 ^{t}\!YAY+(2^tX_0A+B)Y+^{t}\!X_0AX_0+BX_0+f=0
 
 
  \)</div>
D'autre part, \(  M'=S_{\omega}(M) \) a pour coordonnes \( Y'=-Y \) dans \( {\cal R}_{0} \). On a donc 
<div class="math">\(^{t}\!Y'AY'+(2^{t}\!X_0A+B)Y'+^{t}\!X_0AX_0+BX_0+f\)</div>
<div class="math">\( = ^{t}\!YAY-(2^{t}\!X_0A+B)Y+^{t}\!X_0AX_0+BX_0+f\)</div>

Si de plus \( M\in {\cal C} \) alors 
<div class="math">\(^{t}Y'AY'+(2^{t}\!X_0A+B)Y'+^{t}\!X_0AX_0+BX_0+f=0\)</div>
ce qui est quivalent 
<div class="math">\((2^{t}\!X_0A+B)Y=0\)</div>
Donc, dans ce cas \( \omega \) est centre de symtrie de \( {\cal C} \) si et seulement si \( M' \) appartient  \( {\cal C} \) si et seulement si 
\( AX_0=-{^tB\over 2} \),
c'est--dire coordonne par coordonne 
  <div class="math">\(\left\{\begin{matrix} 
2ax_0+by_0+d &=& 0\\
bx_0+2cy_0+e &=& 0\\
\end{matrix} \right.\)</div>
</div> <div class="fin"> Fin de la dmonstration</div>