<div class="dem"> Nous ne donnons ici qu'une ide de la dmonstration en supposant que localement la courbe d"quation \(f(x,y)=0) peut tre paramtre, c'est--dire qu'il existe deux fonctions \(c_1) et \(c_2) d'un intervalle ouvert \(I) contenant 0  dans \(U) telles que
<ul><li> \(M_0=(c_1(0),c_2(0)))</li>
<li> \(f(c_1(t),c_2(t))=0) pour \(t\in I)</li>
</ul>
En drivant l'quation \(f(c_1(t),c_2(t))=0) par rapport  \(t), on obtient
<center> \( c_1'(t)D_1(f)( c_1(t),c_2(t))+ c_2'(t)D_2(f)( c_1(t),c_2(t))=0) </center>
Prenons la valeur en \(t=0) : 
<center> \( c_1'(0)D_1(f)(M_0)+ c_2'(0)D_2(f)(M_0)=0) </center>
Le vecteur grad\(f(M_0)) est donc normal au vecteur \( (c_1'(0), c_2'(0))). Or ce vecteur est le vecteur driv de la courbe paramtre \((c_1,c_2)) et appartient donc  la tangente  la courbe en \(M_0). 
</div> 