<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Rsolution numrique de l'quation \( f ( x ) = 0 \)} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS3}{III  Mthode de point fixe} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> III-5  Ordre de convergence</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Introduction}

\link{mainS2}{II  Mthode de dichotomie}

<div class="left_selection">\link{mainS3}{III  Mthode de point fixe}</div>

\link{mainS4}{IV  Mthode de Newton}

\link{mainS5}{V  Mthode de Lagrange}

\link{mainS6}{VI  Bibliographie}

\link{mainS7}{VII  Exercices}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">
Soit \( \alpha \) un point fixe de \( g \).
<h2 class="rmq">Remarque</h2><div class="rmq">
Si \( g'(\alpha) = 0, \) on sait que \( \alpha \) est un point attractif. Si de plus \( g \) est
de classe \( \mathcal{ C}^2 \) sur \( I \) et qu'il existe \( M>0 \) tel que \( \displaystyle
|g''(x)| \leq M, \) pour tout \(  x  \) dans un voisinage \( V_{\alpha} \) de \( \alpha, \) la formule de Taylor nous permet d'crire:
<div class="math">\(
\begin{matrix} 
g(x)& = &g(\alpha)+(x-\alpha)g'(\alpha) + \displaystyle\frac{(x-\alpha)^2}{2\!}g''(c) \;
\mbox{ avec } \; c\in \rbrack \alpha, \; x\lbrack \\
\;\;\\
 & = &\alpha + \displaystyle \frac{1}{2} g''(c)(x - \alpha)^2
\end{matrix} 
\)</div>
</div>


\noindent d'o \( \displaystyle |g(x)-\alpha|\leq {1\over 2}M|x-\alpha|^2 \) avec
\( \; M = \displaystyle \sup_{x \in I} \left| g'' \left( x \right)  \right| \) et
la suite \( (x_n) \) est alors convergente  convergence au moins quadratique
(voir introduction).

\noindent Nous allons maintenant prsenter un rsultat simplifi concernant
l'ordre de la mthode de point fixe. 

<h2 class="thm">Thorme</h2><div class="thm">
Soit \( \displaystyle g:I = \left[ a, \; b \right] \longrightarrow \left[ a, \; b \right] \) de
classe \( \mathcal{ C}^m, \) avec \( m \in \mathbb N  \). On suppose que \( g \) admet un unique point fixe \( \alpha
\in \left[ a, \; b \right] \) vrifiant  \( |g'(\alpha)|<1  \). 
Il existe alors un voisinage \( V_{\alpha} \) de \( \alpha \) dans \( I \) 
tel que la suite itre \( (x_n) \) dfinie par:

<div class="math">\(
\displaystyle \left\{
\begin{matrix}  
x_0 \in V_{\alpha} \;\;\;& \\ 
x_{n+1} = g(x_n) ; & \; \forall n \geq 0
\end{matrix}  
\right.
\)</div>
est convergente vers \( \alpha  \). De plus,  
l'ordre de convergence de \( (x_n) \) est gal  \( m \) si et seulement si
<div class="math">\(
\left\{
\begin{matrix}  
g'(\alpha) = \cdots = & g^{\left( m-1 \right)}(\alpha) = 0  \\
g^{\left( m \right)}(\alpha) \neq 0 & 
\end{matrix}  
\right.
\)</div> 
<a name="th1">
</div>





\fold{mainS3S5F_preu1}{<span class="preu">Preuve</span>

}

</div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
\link{mainS3S1}{III-1  Principe}

\link{mainS3S2}{III-2  Point attractif}

\link{mainS3S3}{III-3  Point rpulsif}

\link{mainS3S4}{III-4  Point douteux}

<div class="right_selection">\link{mainS3S5}{III-5  Ordre de convergence}</div>

\link{mainS3S6}{III-6  Test d'arrt}
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>