<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Optimisation linaire} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS3}{III  Mthode des sommets} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> III-3  Champ d'application</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Programmation linaire}

\link{mainS2}{II  Mthode graphique}

<div class="left_selection">\link{mainS3}{III  Mthode des sommets}</div>

\link{mainS4}{IV  Mthode du simplexe}

\link{mainS5}{V  Algorithme du simplexe standard}

\link{mainS6}{VI  Dualit en programmation linaire}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">


La mthode des sommets peut s'appliquer mme
pour des (PL) ayant un nombre de variables structurelles
strictement suprieur  \( 3 \). Afin de dterminer un
sommet, on choisit \( p \) hyperplans (\( p \) tant le nombre de
variables) parmi les \( n \) contraintes du domaine ralisable (y 
compris les contraintes de positivit : \( x_i \geq 0 \)). On 
obtient ainsi un systme linaire d'ordre \( p \) que l'on 
rsoud. Si ce systme admet une et
une seule solution \( A \), on vrifie si \( A \) satisfait les
\( (n-p) \) contraintes restantes. Dans ce cas, \( A \) est un sommet,
sinon le choix considr de ces \( p \) quations linaires
ne permet pas d'avoir un sommet et pour ce faire, on
effectue un autre choix de \( p \) hyperplans frontires parmi les
\( n \) contraintes. Dans le but d'obtenir tous les sommets, il va falloir
balayer tous les choix possibles dont le nombre est gal 
\( \displaystyle{(_p^n) = \frac{n!}{p!(n-p)!}} \). Chaque choix qui aboutit
 un systme de Cramer dont la solution est ralisable
permet d'obtenir un sommet. Enfin, la solution du problme
considr est obtenue en prenant l'optimum de la fonction
d'objectif sur tous les sommets.

<h2 class="rque">Remarque</h2><div class="rque">
Dans la pratique, la mthode des sommets est en fait trs
coteuse en temps de calcul. D'une part, la dtermination
d'un sommet exige la rsolution d'un systme linaire de
Cramer d'ordre \( p \) dont la solution doit satisfaire les
contraintes restantes. D'autre part, le nombre \( (_p^n) \) est en
gnral trs important. A titre indicatif, on a
\( (_{10}^{25}) = 3.268.760 \)! Par ailleurs, cette mthode n'est 
applicable que lorsqu'on
est certain que le (PL) admet une solution optimale, ce
qui est a priori difficile  vrifier.
</div>



<h2 class="exo">Exercice</h2><div class="exo">


Rsolution par la mthode des sommets : A venir</div>

</div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
\link{mainS3S1}{III-1  Rsultat prliminaire}

\link{mainS3S2}{III-2  Mise en oeuvre}

<div class="right_selection">\link{mainS3S3}{III-3  Champ d'application}</div>
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>