<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Optimisation linaire} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS4}{IV  Mthode du simplexe} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> IV-2  Forme standard</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Programmation linaire}

\link{mainS2}{II  Mthode graphique}

\link{mainS3}{III  Mthode des sommets}

<div class="left_selection">\link{mainS4}{IV  Mthode du simplexe}</div>

\link{mainS5}{V  Algorithme du simplexe standard}

\link{mainS6}{VI  Dualit en programmation linaire}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">


La mise sous <font color = "orange">forme standard</font>   d'un (PL)
quelconque consiste  transformer les contraintes d'ingalits
(mise  part les contraintes de positivit) en galit tout 
en imposant aux variables d'tre positives. Pour ce faire, on
procde comme suit :
<ul><li>  A chaque contrainte de type \( "\leq" \) (<i>resp.</i>   \( "\geq" \)),
ajouter (<i>resp.</i>   retrancher) une variable tout en lui imposant 
d'tre positive. Celle-ci s'appelle <font color = "orange">variable d'cart</font>  .
<a name="variable!d'cart">
 </li><li>  Remplacer chaque variable \( x_i \) sans restriction de signe par
la diffrence de deux variables positives : 
\( x_i = x_i^{+} -x_i^{-} \) avec \( x_i^+\geq 0 \) et \( x_i^-\geq 0 \).
 </li><li>  Si une variable \( x_i \) est ngative, effectuer le changement
de variable \( x_i' = -x_i \).
 </li></ul>




\def{integer m = randint(2..4)}
\def{matrix x0 = wims(random 0,3 repeat 2)}
\def{matrix A = slib(matrix/non0 \m,2,5)}
\def{matrix b = slib(matrix/non0 1,\m,7)}
\def{matrix b = pari(abs([\b]))}
\def{text bt =wims(replace internal , by ; in  \b)}
\def{matrix c = slib(matrix/non0 1,2,9)}
\def{text B = pari(([\A]*[\x0]~)~)}
\def{text diff = pari([\B]-[\b])}
\def{text d = pari(dif = [\diff] ; vector(\m,i,sign(dif[i])))}
\def{matrix M = pari(concat([\A],-matdiagonal([\d])))}
\def{matrix C = \c, wims(makelist 0 for x = 1 to \m)}
\def{text u=x1;x2}
\def{text Axy=pari([\A]*[\u])}
\def{text cxy=pari([\c]*[\u])}

Soit la forme canonique (FC) suivante :
<center> max \(Z = \cxy)
<br> sous les contraintes
\for{i=1 to \m}{
\if{\d[\i]=-1}{
<br> \(\Axy[\i;]) \(\leq) \b[\i]
}{
<br> \(\Axy[\i;]) \(\geq) \b[\i]
}
}
<br>\(x1) \(\geq) 0, \(x2) \(\geq) 0
</center>

Les donnes de la forme standard de cette (FC) sont : 
<center>\(M = ) \([\M ]),  \(b) = \( [\bt]) \(c^{\ast}) = \( [\C]) </center>



<h2 class="ex">Exemple</h2><div class="ex"> <a name="exp4">
Mettre sous forme standard le (PL) suivant :
<p class="math">\( \left\{ \begin{matrix}  \max [Z(x_1,x_2,x_3) & = 2x_1-x_2+5x_3]\\
x_1 -2x_2 & = 3\\
x_1 -x_3 & \geq -1\\
x_2+x_3 & \leq 4\\
x_1\geq 0,\; x_2\geq 0 &
\end{matrix}  \right.\)</p>
</div>


On peut dire  juste titre que ce (PL) n'est pas une
forme canonique car la premire contrainte est une galit 
et la troisime variable \( x_3 \) n'est pas astreinte  tre 
positive. Pour la mise sous forme standard,
la premire contrainte, qui est dj une galit, reste 
inchange. Pour la deuxime, on lui retranche une variable
positive \( x_4 \), elle devient 
<div class="math">\(x_1 - x_3 - x_4 = -1 .\)</div> Quant  la
troisime contrainte, on lui ajoute une variable positive
\( x_5 \) pour devenir 
<div class="math">\(x_2 + x_3 + x_5 = 4 .\)</div>
Concernant la variable
\( x_3 \) qui est sans restriction de signe, elle est remplace
par \( x_3^+ - x_3^- \), avec \( x_3^+ \geq 0 \) et \( x_3^-\geq 0 \). En 
conclusion, la forme standard associe  ce (PL) s'crit
<p class="math">\( \left\{ \begin{matrix}  \max [Z(x) = 2x_1-x_2+
5x_3^+-5x_3^-]& \\ 
x_1 -2x_2 = & 3\\
x_1 -x_3^+ +x_3^--x_4 = &-1\\
x_2+x_3^+ - x_3^-+x_5 = & 4\\
x = (x_1,x_2,x_3^+,x_3^-,x_4,x_5)\geq 0_{\mathbb R^6}. &
\end{matrix} \right. \)</p>
Les variables du (PL) initial s'appellent <font color = "orange">variables de
dcision</font>  ,<a name="variable!de dcision">
celles de la forme standard associe s'appellent
<font color = "orange">variables structurelles</font>  .<a name="variable!structurelle"></div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
\link{mainS4S1}{IV-1  Forme canonique}

<div class="right_selection">\link{mainS4S2}{IV-2  Forme standard}</div>

\link{mainS4S3}{IV-3  Relation entre la frome canonique et standard}

\link{mainS4S4}{IV-4  Notion de base ralisable}

\link{mainS4S5}{IV-5  Algorithme du simplexe}
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>